ফিবোনাচি ধারার রহস্য পর্ব-১

0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233 …………

লিউনার্দো ফিবোনাচি

উপরের ডিজিট গুলোর মাঝে একটা মজার ব্যাপার আছে, বলুন দেখি ব্যাপার টা কি? হ্যা, ধরে ফেলেছেন। এই ধারার প্রত্যেকটি ডিজিট তার আগের দুইটি ডিজিটের যোগফল। আর এই ধারাটাকেই বলা হয় ফিবোনাচি ধারা এবং আমি সহ অনেকের ধারনা ব্যাপক রহস্যময় ধারা।ইতালিয়ান গণিতবিদ লিউনার্দো ফিবোনাচি এই ধারাটি প্রকাশ করেন।

প্রথম থেকেই বলে আসছি রহস্যময়তার কথা, আসুন এখনি কিছু উদাহরন দেখি। কিন্তু তার আগে আমাদের অনেক গুলো ফিবোনাচি সংখ্যা দরকার, চলুন এক নজরে প্রথম ৪৭ টা ফিবোনাচি সংখ্যা দেখে নেই-

F₀ 0 | F₁ 1 | F₂ 1 | F₃ 2 | F₄ 3 | F₅ 5 | F₆ 8 | F₇ 13 | F₈21  | F₉ 34 F₁₀ 55 | F₁₁ 89 | F₁₂ 144 | F₁₃ 233 | F₁₄377 | F₁₅ 610 | F₁₆ 987 | F₁₇ 1597 | F₁₈ 2584 | F₁₉4181 | F₂₀ 6765 | F₂₁ 10946 | F₂₂ 17711 | F₂₃ 28657 | F₂₄ 46368 | F₂₅ 75025 | F₂₆ 121393 | F₂₇ 196418 | F₂₈ 317811 | F₂₉ 514229 | F₃₀ 832040 | F₃₁ 1346269 | F₃₂ 2178309 | F₃₃ 3524578 | F₃₄ 5702887 | F₃₅9227465 | F₃₆ 14930352 | F₃₇ 24157817 | F₃₈ 39088169 | F₃₉ 63245986 | F₄₀102334155 | F₄₁ 165580141 | F₄₂ 267914296 | F₄₃ 433494437 | F₄₄701408733 | F₄₅ 1134903170 | F₄₆ 1836311903

আমরা এক কাজ করি, এই লিস্ট থেকে পরপর যেকোনো 4 টি সংখ্যা নেই।

8   13   21   34

এখন ১ম সংখ্যার সাথে ৪র্থ সংখ্যাটি যোগ করি : 8+34= 42

২য় সংখ্যা সাথে ৩য় সংখ্যা যোগ করি : 13+21= 34

এখন যোগফল দুটি বিয়োগ করলে 42-34= 8 !! সেই প্রথম সংখ্যাটি

অর্থাৎ ফিবোনাচি ধারার যেকোনো ৪ টি সংখ্যার শেষের দুটির যোগফল এবং মাঝের দুটির যোগফলের পার্থক্য প্রথম সংখ্যাটার সমান।

গানিতিক ভাষায়-

(F_n +F_n+4) – (F_n+3 +F_n+2) = Fn

এবার দেখি আরেকটা মজার ব্যাপার, উপরের ফিবোনাচি সংখ্যাগুলো যেগুলো ২ বা তার বেশি ডিজিটের সেগুলোর শেষ ডিজিট গুলো লিখি-

3  1  4  5  9  4  3…………

একটু খেয়াল করলেই দেখবেন এই নতুন ধারাটারও যেকোনো ডিজিট তার আগের ২ ডিজিটের যোগফলের শেষ ডিজিটের সমান। যেমন 9+4=13, এর শেষ ডিজিট 3 ।

আরেকটা অদ্ভুত ব্যাপার হল ফিবোনাচি ধারার প্রতি 60 ফিবোনাচি সংখ্যার পর আবার ফিবোনাচি ধারাই শেষ ডিজিট হিসেবে ফিরে আসে। যেমন-

F₆₀ =1548008755920

F₆₁ =2504730781961

F₆₂ =4052739537881

F₆₃ =6557470319842

F₆₄ =10610209857723

F₆₅ =17167680177565

শেষ ডিজিটগুলো 0  1  1  2  3  5……. আবার ফিবোনাচি সংখ্যা!!!

এতখন আসলে ফিবোনাচি ধারার বৈশিস্ট্য সম্পর্কে বলছিলাম, ফিবোনাচি ধারার আসল মাহার্থ হচ্ছে প্রকৃতির মাঝে ছড়ানো ছিটানো ভাবে থাকা এই ধারা। চলুন দেখি–

মৌমছির জীবন টা একটু অদ্ভুত। একটি ছেলে মৌমাছির জন্ম দেয় শুধু মা মৌমাছি, তার জন্য বাবা মৌমাছির প্রয়োজন নেই। কিন্তু একটি মেয়ে মৌমাছির জন্ম দেয়ার জন্য বাবা এবং মা উভয়েরই প্রয়োজন হয়। আমরা যদি মেয়ে মৌমাছিকে F আর ছেলে মৌমাছিকে M ধরে একটা বংশতালিকা করি তাহলে চিত্রটা এমন হবে-

মৌমাছির বংশতালিকা

উপর থেকে মৌমাছির পরিবারে সদস্য সংখ্যা গুনতে থাকেলে দেখা যাবে- 0  1  1  2  3  5  8  13  21……., ফিবোনাচি ধারা!!!

আসুন এইবার একটু খরগোসের জীবন চক্র দেখি। এক জোড়া খরগোস বড় হতে সময় লাগে ১মাস।বড় হবার পর ২য় মাস থেকে প্রতিমাসে মেয়ে খরগোসটি ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে অর্থাৎ এক জোড়া খরগোসের জন্ম দেয়। এখন একটু হিসেব করি।

মাস-১ ; ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে বাচ্চা খরগোস ; জোড়া সংখ্যা-১

এই জোড়া বাচ্চা খরগোস গুলোর বড় হতে ১ মাস সময় লাগবে, ফলে-

মাস-২; ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে বড় খরগোস ;  জোড়া সংখ্যা-১

বড় হওয়ার পর তারা একজোড়া বাচ্চা খরগোস জন্ম দেবে, তাহলে-

মাস-৩; ১ জোড়া বাচ্চা খরগোস আর ১ জোড়া বড় খরগোস; জোড়া সংখ্যা-২

এরপর, বাচ্চা খরগোস গুলো ১ মাসে বড় হবে এবং এই সময়ের মাঝে বড় খরগোস আরেক জোড়া বাচ্চার জন্ম দেবে, তাই-

মাস-৪; ১ জোড়া বাচ্চা খরগোস আর ২ জোড়া বড় খরগোস, জোড়া সংখ্যা-৩

এর পরের মাসে, ১ মাসে বাচ্চা খরগোস বড় হবে এর এর মাঝে বড় ২ জোড়া খরগোস আরোও ২ জোড়া বাচ্চা খরগোস জন্ম দেবে,

মাস-৫; ২ জোড়া বাচ্চা আর ৩ জোড়া বড় খরগোস,জোড়া সংখ্যা-৫……………… এভাবেই চলতে থাকবে।

তাহলে জোড়া সংখ্যা গুলো একটু লিখি- 1  1  2  3  5  ……..!!!! আমি কিছু বলব না, আপনারাই বুঝে নিন।