উট এবং কলা (গণিত)

ভাবছিলাম এমন কিছু নিয়ে লেখা যাক যেটা বেশ সহজ হবে, আবার বেশ মজারও হবে। সেরকম একটা সমস্যা পেয়েই গেলাম- সেটা নিয়েই লিখছি।

সমস্যার মূলে রয়েছে এক কলা ব্যবসায়ী আর এক উট। সেই কলা ব্যবসায়ীর কাছে আছে 3000 কলা। কলা নিয়ে এই উটকে 1000 কিলোমিটার রাস্তা পারি দিয়ে পৌঁছাতে হবে কলার বাজারে। উটের পক্ষে একবারে 1000 এর বেশি কলা বহন করা সম্ভব নয়। আবার প্রতি কিলোমিটার পথ অতিক্রম করার জন্য তাকে একটি কলা খেতে দিতে হবে। প্রশ্ন হল- উটের পক্ষে সর্বোচ্চ কতগুলো কলা নিয়ে কলাবাজারে পৌঁছানো সম্ভব?

সমস্যাটা আগে নিজে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করুন, তার আগে কিন্তু সমাধানের দিকে উকি দেওয়া বারণ!!!

মরুভহূমির যে প্রান্ত থেকে উট যাত্রা শুরু করবে সেটার নাম দেওয়া যাক A; আর যে জায়গার কলাবাজার অবস্থিত সে জায়গাটার নাম B

ধরে নিন, আমরা উটের ঘাড়ে 1000 কলা চাপিয়ে তাকে পাঠিয়ে দিলাম। তাহলে 1000 কিলোমিটার গিয়ে তার কাছে আর কোন কলা থাকবে না। এতে তো সে কোন কলা বাজারে পৌঁছে তো দিতে পারবে না, কারণ প্রতি কিলোমিটারে একটি হিসেবে সবগুলো কলাই সে খেয়ে ফেলবে। বরং সব কলা খেয়ে ফেলায় বাকি কলা বহন করে নেবার জন্য তার পক্ষে ফিরে আসাও সম্ভন হবে না। এভাবে চললে তো আর ব্যবসায়ীর পক্ষে ব্যবসা করাই মুশকিল। নাহ! অন্য কিছু ভাবতে হবে।

যদি এমন কোন ব্যবস্থা করা যায় যে উটটি কিছু কলা নিয়ে কিছুদূর যাবে, ঐ কলার কিছু সে ঐ জায়গায় রেখে আসবে আর বাকি কিছু কলা সাথে রাখবে নিজের জন্য। নিজের জন্য রাখা কলাগুলো খেতে খেতে সে আগের জায়গায় ফিরে আসবে বাকি কলাগুলোর কিছু নিয়ে যাবার জন্য- তাহলে???

একটি জিনিস লক্ষ করুন- কলার সংখ্যা যতই হোক, উটের পক্ষে কখনোই 1000 এর চেয়ে বেশি সংখ্যক কলা বহন করে নিয়ে যাওয়া সম্ভব নয়। কারণ সে তো এর চেয়ে বেশি সংখ্যক কলা বহনই করতে পারে না। আমরা ধরে নিতে পারি, উটটি k (k<1000) সংখ্যক কলা নিয়ে কলা বাজারে পৌঁছায়। তাহলে কলাবাজার থেকে সে যখন 1000 – k কিলোমিটার দূরে ছিল (ধরা যাক এই জায়গাটার নাম C) তখন তার কাছে কমপক্ষে 1000টি কলা ছিল। CB দূরত্ব অতিক্রম করার জন্য উটকে B পর্যন্ত গিয়ে আবার C তে ফিরে আসার প্রয়োজন নেই- কারণ তার কাছে কলা থাকবেই মোটে 1000টি। এই কলাগুলোকে সে একবারেই বহন করে নিতে পারবে।

বোঝাই যাচ্ছে, CB এর চেয়েও বেশি দূরত্বে যখন উট ছিল তখন তার কাছে 1000টির চেয়েও বেশি কলা ছিল। এবার কিন্তু কলা বহন করার জন্য উটকে একটু বেশিই কসরত করতে হবে। ধরা যাক, 1000 এর চেয়ে বেশি কলা আছে এমন একটি অবস্থান হল D; সে যেহেতু একবারে সর্বোচ্চ 1000টি কলা বহন করতে পারে, উটটি প্রথমে কিছু সংখ্যক কলা নিয়ে যাত্রা শুরু করবে। মাঝপথে প্রতি কিলোমিটার রাস্তার জন্য সে একটি করে কলা খাবে। বাকি কলাগুলোর মধ্যে থেকে কিছু সে C তে রেখে আসবে আর নিজের সাথে বাকি কলাগুলো রেখে দিবে যেন থেকে D তে ফেরার পথে প্রতি কিলোমিটারের জন্য সে একটি করে খেতে পারে। D তে ফিরে এসে সে আবারো একই কাজ করবে, বাকি কলাগুলো নিয়ে C এর দিকে যাবে আর প্রতি কিলোমিটারের জন্য একটি করে কলা খাবে। যদি পুরো প্রক্রিয়া সফল হয় তাহলে DC দূরত্বের প্রতি কিলোমিটারের জন্য উট নিজে আসলে মোট 3টি করে কলা খাবে। উট কয়টি কলা নিয়ে যাত্রা শুরু করবে তা নির্ভর করবে দূরত্বের উপর আর তে উটের কাছে কতগুলো কলা ছিল তার উপর। তবে আমাদের আপাতত এত বিশদ ভাবনায় যেতে হবে না। এটা খুব সহজেই বোঝা যাচ্ছে যে D তে উটের কাছে 2000 এর চেয়ে বেশি কলা থাকলে উটের পক্ষে শুধু একবার D তে ফিরে এসেই সব কলা C তে নিয়ে যাওয়া সম্ভব হতো না। আমরা ধরে নিই, D তে উটের কাছে 2000টি কলাই ছিল।

এখন শুধু পথের AD অংশই বাকি রইল। A থেকে উটকে পঠানো হলে 3000টি কলা বহন করার জন্য উটকে A থেকে তিনবার যাত্রা করতে হবে। প্রথমে A থেকে 1000 কলা উটের ঘাড়ে করে পাঠিয়ে দেওয়া হল। উট সেই কলার কিছু অংশ D তে রেখে আর বাকি অংশ দুই দফায় উদরপূর্তির কাজে ব্যবহার করে আবার A তে ফিরে আসবে। উটের পিঠে আরো কলা চাপিয়ে পাঠিয়ে দেওয়া হলে আগের বারের মতই সে কিছু রেখে কিছু খেয়ে A তে ফিরে আসবে। এবার উটের পিঠে বাকি কলাগুলো চাপিয়ে দিলে সে সেগুলোর মধ্যে থেকে কিছু কলা যাওয়ার পথে খেয়ে ফেলবে, বাকি অংশ D তে নিয়ে যাবে। মোট কথা, AD অংশের প্রতি কিলোমিটারের জন্য উট মহাশয় আসলে 5টি করে কলা ভক্ষণ করবেন।

___________________________________________________
A…………………… D…………………………….C……………………………….B

এবার আমরা চটপট কিছু সমীকরণ লিখে ফেলতে পারিঃ
AD + DC + CB = 1000 (i)
3000 – 5.AD = 2000 (ii)
2000 – 3.DC = 1000 (iii)

এই তিনটি সমীকরণ সমাধান করলে আমরা দেখবঃ
AD = 200
DC = 333.33…
CB = 466.66…
আমরা কিন্তু আগেই বলে এসেছি CB = 1000 – k
সুতরাং, k = 1000 – CB = 533.33…
(প্লিজ, কলার সংখ্যা ভগ্নাংশ আসায় মন খারাপ করবেন না)
একটি প্রশ্ন আপনার মনে জাগতেই পারে, কেন আমি D তে 2000টি কলা আছে ধরে নিয়াছিলাম। এর কারণটি আসলে খুব সহজেই বোঝা যায়। A থেকে B তে যাবার জন্য আমরা তিনটি অংশ বিবেচনা করেছিলাম। এর মধ্যে AD অংশে প্রতি কিলোমিটারের জন্য উট খাবে 5টি করে কলা, DC অংশে প্রতি কিলোমিটারের জন্য উট খাবে 3টি করে কলা এবং CB অংশে প্রতি কিলোমিটারের জন্য উট খাবে একটি করে কলা। মোট যে কয়টি কলা উটের খাদ্য হিসেবে খরচ হবে তা হলঃ
N = 5(AD) + 3(DC) + (1000 – AD – DC) = 1000 + 4(AD) + 2(DC)

N এর মানে 1000 হল ধ্রুব অংশ। এর মানে হল N এর মান কমাতে হলে আসলে 4(AD) + 2(DC) এর মান কমাতে হবে। যদি আমরা AD এবং DC উভয়কেই শূণ্য করে দিতে পারি তাহলে হতে পারে। কিন্তু AD কখনোই শূণ্য হতে পারে না। সেই সাথে বলা যায়, AD অবশ্যই 500 কিলোমিটারের চেয়ে কম হবে, কারণ একবারে 1000 কলা নিয়ে যাত্রা করলে উট তার নিজের পেট ভরে A তে ফিরে আসতে হলে তার পক্ষে 500 কিলোমিটারের চেয়ে বেশি দূরত্ব যাওয়া সম্ভব না। এখন ধরে নিই, DC = 0; এর মানে দাঁড়ায়, CB (তথা DB) এর মান কমপক্ষে 500 কিলোমিটার হবে। C তে কিন্তু আবার 1000 এর বেশি কলা নিয়ে যাওয়া সম্ভব নয়। তার অর্থ হল A থেকে D তে যেতে উটকে আসলে 2000 কলা খেতে হবে। 5(AD) = 2000 => AD = 400; যেহেতু DC = 0 সেহেতু CB = 600 এবং k = 1000 – 600 = 400 অর্থাৎ উটটি মাত্র 400 কলা বাজারে নিয়ে যেতে পারবে। এটায় আমাদের সুবিশেষ কোন লাভ হচ্ছে না। এর মানে হল- যদি AD অশূণ্য হয় তাহলে বেশি সংখ্যক কলা বাজারে নিয়া যাওয়ার জন্য DC কেও অশূণ্য হতে হবে।

এখন প্রশ্ন হল AD এবং DC এর কোন অশূণ্য মানের জন্য N সর্বনিম্ন হবে। একটু লক্ষ করলেই দেখা যাবে, N এ AD এবং DC এর সহগ যথাক্রমে 4 এবং 2; অসমতা প্রয়োগ করে দেখানো যায় যে N এর মানকে ছোট করতে হলে DC এর মানকে বড় করতে হবে আর AD এর মানকে ছোট করতে হবে। D এ কলার সংখ্যা 2000 বা তার কম হবে। বোঝাই যাচ্ছে, D এ কলার সংখ্যা যত কম হবে AD তত বড় হবে, এতে N এর মানও বড় হয়ে যাবে। তাই তে কলার সংখ্যা যত সম্ভব বড় রাখতে হবে। তাই D তে কলার সংখ্যা 2000 ধরে নেওয়াটাই সমীচীন।